EJEMPLOS DE SIMULACIÓN DE MODELOS DINÁMICOS

Los modelos dinámicos son los que trabajan a condiciones no estacionarias y en su balance general el término acumulación es diferente de cero; ejemplos típicos de modelos dinámicos son la operación de un reactor “batch”, la medida de una propiedad tal como concentración, temperatura o presión en función de la longitud de un reactor tubular, los arranques y paradas de planta. Los modelos dinámicos representan el cambio de una propiedad con respecto a una variable independiente.

Los modelos cuya la variable independiente es el tiempo son de particular importancia en el diseño de los sistemas de control automático y su estudio se hace cada vez importante.

En este texto veremos inicialmente la simulación de sistemas dinámicos simples con una variable dependiente, luego ampliaremos a dos o más variables dependientes y finalmente veremos con dos variables independientes.

6.1 FLUJO POR GRAVEDAD EN UN TANQUE

El tanque de flujo por gravedad considerado en la Sección 5.3 es un buen sistema simple para iniciar nuestros ejemplos de simulación de sistemas dinámicos. El balance de fuerzas sobre la línea de salida da la EDO no lineal

Para describir completamente el sistema, también es necesaria una ecuación de continuidad total para el liquido en el tanque.

Tenemos que escoger un caso numérico específico para resolver estas dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. La Ecuación (6.1) es no lineal debido al término v². Las dimensiones físicas y los valores de los parámetros son lo mismos dados en la Sección 5.3. g = g_c= 32,1 pies/s²; r = 62.4 lb/pie³;

Tubería: ID = 3 pies; A_p (area de sección transversal del tubo) = 7,06 pie²; L (longitud de tubería ) =3000 pies;

Tanque: ID = 12 pies; A_T (Area de sección transversal) = 113 pies 2; H_T (Altura) = 7 pies

Variables al estado estacionario: De la simulación a condiciones estacionarias se tiene

Nivel: h = 4,72 pies velocidad: v = 4,97 pies/s caudal: F =35,1 pies³/s

Parametros: Número de Reynolds = 1 380 000; Factor de fricción = 0.0123; kf (Constante para fricción) = 0.0281 lb_f/(pie/seg)² pie;

Usando la relación F = v A_p y sustituyendo los valores numéricos de los parámetros en las Ecs. (6.1) y (6.2) se tiene

a) Simulación usando la rutina ode45 de MATLAB.- A continuación se da un programa MATLAB denominado flujo.m que integra numéricamente las dos EDOs que describen este sistema. A condiciones estacionarias con un flujo de entrada de = 35,1 pies³/seg. (17 500 gpm), igual al flujo de salida del tanque (lo cual equivale a una velocidad de salida de = /A_p= 4,97 pies/seg) debe tener un nivel de liquido de = 4,72 pies

6.2 TERMÓMETRO DE MERCURIO

Un buen ejemplo para ilustrar un sistema a condiciones no estacionarias es un termómetro de mercurio. Cuando se desea tomar la temperatura usando un termómetro de mercurio, se debe esperar un cierto tiempo hasta que el termómetro alcance la temperatura del medio que lo rodea, entes de comenzar a medir la temperatura (colocar el termómetro en el medio que se va a medir) este se encuentra en un estado estacionario, durante el tiempo que demora el termómetro para alcanzar la temperatura del medio, este se encuentra a condiciones no estacionarias y cuando alcanza la temperatura del medio hacia delante se encuentra a condiciones estacionarias.

Un balance de energía para el bulbo de mercurio a condiciones no estacionarias esta dado por:

Calor que entra – calor que sale = acumulación

los parámetros son:

A: área superficial del bulbo

U: coeficiente total de transferencia de calor

m: masa de mercurio en el bulbo

C_p: capacidad calorífica del mercurio

La fuerza impulsora es la Temperatura del medio (temperatura a ser medida): Tm

Y la variable dependiente (salida) es la temperatura del mercurio en el bulbo: Tb

6.3 DOS TANQUES MEZCLADORES

Los ejemplos ilustrados anteriormente son relativamente simples, pero en la industria se presentan procesos más complejos que requieren un análisis más profundo.

A continuación presentamos un ejemplo en el cual ilustraremos las diferentes formas como enfocar un problema de este tipo y determinar cual opción de solución es la más simple y eficaz desde el punto de vista del Ingeniero Químico.

Considerar los dos tanques en cascada mostrados en la Fig. 6-3

Fig. 6-3 Dos tanques mezcladores en cascada

Asumiendo que el flujo volumétrico a través del sistema es constante con q = 5 gal/s. Con un flujo constante, los volúmenes del tanque1 y el tanque 2 también son constantes con V₁= 100 gal y V₂ = 200 gal. Si la entrada al tanque 1 es agua pura y las masas iniciales de sal disuelta en los tanques son m₁₀ = m₂₀ = 50 lbm, determinar la cantidad de sal en cada tanque versus el tiempo. Así mismo determinar el tiempo y la magnitud de la masa en el tanque 2 cuando m₂ está a su más alto valor.

Solución

Esta situación es un problema típico de mezclado que involucra la dilución de una mezcla soluto-solvente por adición de solvente puro al sistema. En este caso la sal es el soluto y el agua es el solvente. Con solamente agua fresca entrando al tanque 1 (es decir la concentración de entrada de sal es cero), nosotros esperamos que la masa de sal en el tanque 1, m₁, y la concentración de sal en el tanque 1, C₁=m₁/V₁, disminuirán con el tiempo desde sus valores iniciales de 50 lbm y 0.5 lbm/gal, respectivamente. Notar, sin embargo, que aunque inicialmente el tanque2 tiene la misma cantidad de sal que el tanque 1, debido a que tiene mayor volumen, la concentración inicial de sal en el tanque 2 es menor que para el tanque 1, con C₂₀= m₂₀/V₂ = 50 lbm/200 gal = 0,25 lbm/gal.

Entonces, debemos esperar que C₂ se incremente durante un tiempo antes de que eventualmente disminuya a cero a medida que la dilución total del sistema avanza. La especificación del problema nos pide determinar el perfil de la masa de sal en cada tanque con el tiempo y evaluar la concentración máxima que se espera que ocurra en tanque 2.

Balance de masa en el tanque 1

Asumiendo un tanque perfectamente mezclado, el balance de masa para la sal en el tanque 1 a condiciones no estacionarias da:

donde la ultima igualdad es el resultado de la aproximación a tanque perfectamente mezclado (es decir, la concentración de salida es asumida a ser aproximadamente igual a la concentración promedio).

Como C₁ = m₁/V₁, para el tanque 1, tenemos

Esta es una ecuación separable, así

y su integración da

Tomando antilogaritmos da

Finalmente, aplicando las condiciones iniciales se tiene

a t = 0, m₁(0) = m₁₀ = 50 lbm y c = m₁₀

Entonces, el perfil de masa de sal con el tiempo en el tanque 1 es

Reemplazando los valores numéricos se tiene:

m₁(t) = 50e ^{– t/20} lbm (cn t en segundos) (6.11)

Balance de masa en el tanque 2

Estableciendo un balance similar de masa para la sal en el tanque 2 se tiene

donde nuevamente, hemos asumido tanque perfectamente mezclado. Aquí la concentración saliendo del tanque 1, entra al tanque 2, y C₂ es la concentración promedio (y de salida) del tanque 2. Escribiendo las concentraciones como masa/ volumen se tiene:

o en la forma estándar

esta es una EDO lineal de primer orden con un factor de integración dado por

Multiplicando la Ec. (613) por el factor integrador se tiene:

Integrando ambos lados de esta expression se tiene:

Pero, m₁(t) es dada explícitamente por la Ec.(6.10). Luego, tenemos

y esta puede ser simplificada, en varios pasos, para dar

Ahora, multiplicando por se tiene

Finalmente, podemos usar la condición inicial [ a t = 0, m₂(0) = m₂₀ = 50 lbm] para determinar c, o

Entonces, la masa de sal en el tanque 2 versus el tiempo esta dada por:

Reemplazando los valores numéricos se tiene

m₂(t) = 50e ^{– t/40} – 100 [e ^{– t/20} – e ^{– t/40}] = 150e ^{– t/40} – 100e ^{– t/20} (6.15)

Qué podemos decir sobre las condiciones máximas en el tanque 2?

Para determinar las condiciones máximas en el tanque 2, notamos que el máximo de m₂(t) debe ocurrir cuando dm₂/dt =0. Entonces, tomando la derivada de la Ec.(6.14) e igualando el resultado a cero se tiene

Nosotros podemos ahora resolver la Ec. (6.16) para t = t_max, y colocar este valor para t en la Ec. (6.14) lo cual dará m_2max. Sin embargo, como hemos visto, esto es muy dificultoso algebraicamente.

Otra alternativa es regresar a la ecuación original de balance dada en el Ec.(6.12). Con dm₂/dt = 0, la Ec.(6.12) nos dice que C₁ = C₂ a las condiciones máximas. Esto tiene sentido físicamente, subsecuentemente con tal de que C₁ > C₂, la concentración del tanque 2 debe continuar incrementándose. Si C₁ < C₂ la cantidad de sal en el tanque 2 debe disminuir a medida que la concentración del flujo de entrada es menor que la concentración del flujo de salida. Por lo tanto, las condiciones máximas en el tanque 2 ocurren cuando C₁ = C₂. Por lo tanto, tenemos la relación válida,

a las condiciones máximas. Bien, aunque este acercamiento alternativo es válido, esta última expresión no es más fácil de evaluar para t = t_max que la Ec.(6.16).

6.4 TRES CSTRs EN SERIE

Las ecuaciones que describen a tres reactores CSTR isotérmicos en serie fueron desarrolladas en la Sec. 3.2

Las condiciones iniciales son C_A1(0) = 0,4 kg.mol de componente A/m³, C_A2(0) = 0,2 kg.mol de componente A/m³, y C_A3(0) = 0,1 kg.mol de componente A/m³. La función impulsora es C_A0. Asumiremos que en el tiempo cero C_A0 se ajusta a 1,8 kg.mol de A/m³ y se mantiene constante. El parámetro t = V/F (tiempo de residencia), es ajustado igual a 2 min y el valor de k es 0,5 min^–1. La perturbación es el cambio en escalón de la concentración de la alimentación en el tiempo igual a cero desde 0.8 hasta 1.8 kg mol de A/m³. El tiempo está en minutos

Solución

Reemplazando valores numéricos se tiene

6.5 REACTOR SEMICONTINUO

Considerar el caso reactor diseñado para clorar benceno con cloruro férrico como catalizador. El reactor es semibatch conteniendo una carga inicial de benceno puro dentro del cual se alimenta cloro gaseoso a un estado estacionario. El tanque de reacción es operado a presión constante de 2 atm y está equipado con enfriadores para mantener una temperatura de 55^oC. El liquido es agitado para dar una mezcla homogénea. La unidad contiene un condensador de reflujo el cual retorna todo el benceno y los clorobencenos vaporizados hacia el reactor mientras que permite que todo el cloruro de hidrógeno generado y el exceso de cloro en el reactor salgan del sistema. Monoclorobenceno, diclororbenceno y triclorobenceno son producidos mediante reacciones en serie siguientes:

Las constantes específicas de velocidad de reacción son:

k₁ = 510 (lb mol/pie³)^-1(h)^-1

k₂ = 64 (lb mol/pie³)^-1(h)^-1

k₃ = 2.1 (lb mol/pie³)^-1(h)^-1

Para este reactor semibatch se desea conocer en que tiempo se debe detener la reacción en razón a obtener el máximo rendimiento de monoclorobenceno.

La velocidad de alimentación de cloro seco es 1,4 (lbmol de cloro)/(h).(lbmol de benceno inicial cargado)

Se desprecia la retención de liquido y vapor en el condensador de reflujo.

El cambio de volumen de la mezcla reaccionante es despreciable, y el volumen de liquido en el reactor permanece constante e igual 1.46 pies³/lbmol de benceno cargado inicialmente.

El cloruro de hidrógeno tiene una solubilidad despreciable en la mezcla liquida.

El cloro gas alimentado al sistema, inmediatamente ingresa a la solución, pero su solubilidad limite es 0,12 lbmol de cloro/lbmol de benceno inicial, y este valor permanece constante.

Cada reacción es de segundo orden.

Solución

1. Tomando como base:

Benceno alimentado al reactor: N_A0 = 1 mol

2. Moles de los compuestos presentes en el reactor en el tiempo t:

3. Total de cloro consumido: Cl₂

4. Suponiendo Volumen de reacción (V) constante se tiene:

– Velocidad de reacción del benceno

N_E = moles de cloro presentes en el sistema

– Velocidades de formación:

– Cloro consumido

Las Ecs. (6.28) a (6.32) representan el modelo del balance de materiales para el reactor semibatch. Y la Ec. (6.27) sirve para evaluar el consumo neto de Cloro.

5. Solución Analítica.

5.1 Reemplazando valores de las constantes de velocidad en las Ecs. (6.28), (6.29), (6.30) y (6.31) y dividiendo las Ecs. (6.29), (6.30) y (6.31) por la Ec. (6.28) para eliminar el tiempo como variable independiente se tiene: