Ahora que se ha revisado algo de las herramientas del análisis numérico, ilustraremos sus aplicaciones a algunos sistemas de ingeniería química. Comenzaremos en esta sección con ejemplos simples para resolver modelos estáticos y luego en las siguientes secciones pasaremos a sistemas dinámicos más realistas que involucren varias ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas y ecuaciones algebraicas no lineales.
En todos los programas presentados, el énfasis no es sobre la programación o eficiencia computacional ya que actualmente existen una serie de lenguajes de programación y paquetes de calculo y cada usuario tiene su preferencia particular para usarlo uno u otro, en nuestro caso preferimos MATLAB. Es más posiblemente cuando Ud. lea esta obra habrán aparecido nuevos lenguajes y nuevos paquetes de cálculo. De lo que se trata de aquí en adelante es mostrar el fácil traslado de las ecuaciones y la solución lógica a un programa.
Los modelos estáticos están descritos generalmente por ecuaciones algebraicas lineales y no lineales, por lo que la simulación de estos modelos no requiere la evaluación de ecuaciones diferenciales, lo cual facilita su solución y pueden resolverse manualmente. En todo caso la computación ayudará a hacer los cálculos con mayor rapidez.
5.1 CRITERIO DEL DIÁMETRO OPTIMO
Las ecuaciones para determinar el diámetro óptimo (Di, opt) de una tubería son:
Para acero al carbono
Di, opt = 282 m 0.52 r -0.37 (1.13)
Para acero inoxidable, la expresión es
Di, opt = 236 m 0.50 r -0.35 (1.14)
donde Di, opt = diámetro interior óptimo, mm
m = flujo de masa kg/s
r = densidad del fluido, kg/m3
5.2 EQUILIBRIO DE REACCIONES QUÍMICAS
Durante el desarrollo de un proceso se debe determinar la temperatura a la cual debe operar el reactor para lograr la máxima conversión. Una ayuda importante es el modelamiento y simulación, con lo cual lo que debería hacerse en el laboratorio se hace mediante un programa ahorrando tiempo y costos.
Los pasos se resumen en los siguientes:
a) Calculamos D Gof (energía libre de Gibbs estándar de formación) y D Hof (entalpía estándar de formación) a 298 K
b) Calculamos la constante de equilibrio a 298 K usando la ecuación:
c) Asumiendo que D Ho es independiente de la temperatura, calculamos Ka a otra temperatura usando
5.3 FLUJO POR GRAVEDAD EN UN TANQUE
Para una operación al estado estacionario del tanque de flujo por gravedad que hemos considerado en el Cáp. 1 y posteriormente en el Ejemplo 2.9 el término acumulación se hace cero con lo cual las Ec. (2.2) y (2.37) se transforman en:
Fo = F (5.5)
La Ec. (5.5) demuestra la operación al estado estacionario ya que los flujos de entrada y salida son iguales.
La Ec. (5.6) es una ecuación algebraica lineal simple la cual podemos usar para determinar la velocidad de salida (v) en función del nivel de liquido en el tanque (h), para lo cual hacemos la Ec. (5.6) explicita en v, obteniendo:
Si:
g = gc = 32,1 pies/s2; r = 62.4 lb/pie3; Ap (area de sección transversal del tubo) = 7,06 pie2; L (longitud de tubería ) =3000 pies; kf (Constante para fricción) = 0.0281 lbf/(pie/seg)2 pie; AT(Altura del tanque) = 7 pies
5.4 REACTORES CSTR EN SERIE, CON RETENCIÓN CONSTANTE
El sistema es mostrado en la Fig. 3-1 modelado por la Ec. (3.3).
Donde F es el flujo (m3/min), V es el volumen de liquido en el reactor (m3).
En el estado estacionario, y definiendo t = F/V tiempo de residencia (min) la Ec. (3.3) se transforma en
Si la retención (volumen de liquido en cada tanque ) es constante y considerando una operación al estado estacionario los tiempos de residencia son iguales (t = 2), por lo que este modelo se puede usar para determinar las concentraciones de salida de cada reactor en función de la concentración de entrada al primer reactor CA0, con (k=2)
5.5 CSTRs CON RETENCIÓN VARIABLE
Si en el ejemplo anterior se considera que los volúmenes en cada reactor son diferentes, la única modificación al modelo será los valores del tiempo de residencia, por lo demás la solución se hará de la misma forma para obtener los valores de las concentraciones de salida.
5.6 DOS TANQUES CALENTADOS
El modelo dado por las Ecs (3.12) y (3.13) a condiciones estacionarias con F0 = F1 = F2 = F , las temperaturas T1= T2 y la acumulación igual a cero se transforma en una sola ecuación:
Este modelo sirve para, conociendo la temperatura y el flujo de entrada calcular la carga de calor necesario para calentar el fluido hasta una temperatura determinada o evaluar la temperatura de salida cuando se agrega una determinada carga de calor.
5.7 REACTOR CSTR EN FASE GAS A PRESIÓN
El reactor mostrado en la Fig. 3-2 y modelado por las Ecs. (3.14) a (3.18) en una operación al estado estacionario será descrito por las ecuaciones:
Donde:
Cv = es el coeficiente de válvula.
M = peso molecular promedio
MA = peso molecular del reactante A
MB = peso molecular del producto B
Existen cinco ecuaciones (Ecs. (5.12) hasta (5.16) que conforman el modelo matemático del sistema. Los parámetros que deben ser conocidos son V, Cv, k1, k2, R, MA, y MB. Las funciones impulsoras (o entradas) pueden ser PD, r0, F0, y CA0. Con lo cual se tienen cinco incógnitas (variables dependientes): CA, r, P, F , y y.
5.8 CSTR NO ISOTÉRMICO
El reactor exotérmico enchaquetado, discutido en la Sec. 3.6, cuando opera a condiciones estacionarias se describe por las ecuaciones:
A. CHAQUETA DE ENFRIAMIENTO PERFECTAMENTE MEZCLADA.
La constante de velocidad a su vez está dada por:
k = a e – E/RT (5.20)
El subíndice m indica promedio entre la entrada y salida.
En una operación al estado estacionario F0 = F, volumen de liquido en el reactor V se mantiene constante, Para una operación al estado estacionario se puede elegir una temperatura máxima de salida y las incógnitas serán Tj y CA y Fj o una conversión dada del reactante (con lo cual se estaría determinando la concentración de salida CA)y las incógnitas serán T, Tj y Fj . En este caso elegimos una temperatura de salida como la entrada para la simulación al estado estacionario para lo cual escribimos el programa cstrniest.m, usando los parámetros dados en la Tabla 5.1 y variamos la temperatura desde 530 a 700 oR
Tabla 5.1 Valores de los parámetros para el CSTR no isotérmico
| Valores de entrada al estado estacionario | |
| F = 40 pies3/h | V = 48 pies3 |
| CAo = 0,50 lbmol de A/pie3 | To = 530 oR |
| Valores de los parámetros | |
| Fo = 40 pies3/h | V = 48 pies3 |
| Vj = 3,85 pies3 | a = 7,08 x 1010 h-1 |
| E = 30000 Btu/lbmol. | R = 1,99 Btu/lb.mol oR |
| Tjo = 530 oR | AH = 250 pies2 |
| Cp = 0,75 Btu/lbm oR | l = – 30000 Btu/lbmol |
| r = 50 lbm/pie3 | Cj = 1,0 Btu/lbm oR |
| U = 150 Btu/h pie2 oR | rj = 62,3 lbm/pie3 |
B. FLUJO EN PISTÓN DEL REFRIGERANTE EN LA CHAQUETA. En el caso anterior, el agua de enfriamiento dentro de la chaqueta se ha sumido a estar perfectamente mezclado. Si el flujo se acerca mas a un flujo en pistón que a uno perfectamente mezclado debe usarse una temperatura promedio para la chaqueta TjA.
donde Tjsal es la temperatura del agua de enfriamiento
La temperatura promedio se usa en la ecuación para la transferencia de calor. La Ecuación (5.19) será
C. MODELO DE CHAQUETA POR SECCIONES. Considerando al volumen de la chaqueta seccionado en partes perfectamente mezcladas como muestra la Fig. 3-4.
Las Ecs. (3.32) se transforman en
0 = 4 Fj rj Cj (Tj0 – Tj1 ) + UAH (T – Tj1 )
0 = 4Fj rj Cj (Tj1 – Tj2) + UAH (T – Tj2) (5.23)
0 = 4 Fj rj Cj (Tj2 – Tj3 ) + UAH (T – Tj3 )
0 = 4 Fj rj Cj (Tj3 – Tj4 ) + UAH (T – Tj4 )
Estas ecuaciones se usarán para calcular Tj1, Tj2, Tj3 y Tj4 (que será la temperatura de salida de la chaqueta) para cada valor de T
D. CAPACITANCIA DE LA PARED METÁLICA SIGNIFICATIVA. Las tres
ecuaciones (3.33) para el proceso se transforman en:
0 = rCP (F0 T0 – F T) – lV (CA)n e –E/RT – hi Ai (T – TM )
0 = hi Ai (T – TM ) – h0 A0 (TM – Tj ) (5.24)
0 = Fj ri Cj (Tj0 – Tj ) + h0 A0 (TM – Tj )
Con la primera ecuación se calcula TM para cada T y con las restantes Tj y Fj
5.9 VAPORIZADOR DE UN COMPONENTE SIMPLE
Para el sistema mostrado en la Fig. 3.6, en el estado estacionario, la Ec. (3.36) se transforma en:
0 = r0 F0 – rv Fv (5.25)
con lo cual al no haber vapor acumulado en el tanque, las Ec. (3.37) y (3.42) se transforman en la Ec. (3.34) dada en el Cap. 3 para un modelo al estado estacionario.
rv Fv (Hv – h0 ) = Q (5.26)
Esta ecuación describe un simple balance de energía para calcular el calor necesario para la evaporación de una determinada alimentación.
5.10 EVAPORACIÓN “FLASH” DE MULTIPLECOMPONENTES
El modelo de este sistema mostrado en la Fig. (3.7) al estado estacionario esta dado por tres ecuaciones:
De continuidad total: moles
F = L + V (5.27)
De continuidad por componente: moles
Fxfi = Lxi + Vyi (5.28)
Equilibrio liquido – vapor
Kj = yj/xj (5.29)
El proceso es a entalpía constante
El problema se reduce a calcular las cantidades de liquido y vapor, y sus composiciones lo que serían las incógnitas, para una temperatura y presión de operación dadas las cuales serán las fuerzas impulsoras.
El procedimiento de cálculo es:
- Fijar las condiciones de operación del evaporador la cual debe estar entre el punto de burbuja y el punto de roció de la alimentación
- Tomar F = 1,0 mol como base de calculo
- Evaluar K de cada componente a estas condiciones
- Suponer F o L/V y calcular
Verificar Vsupuesto » Vcalculado (±0,0005) caso contrario seguir la iteración
Luego L = F – V
La composición de cada fase está dada por:
donde V = cantidad formada de vapor; moles
L = cantidad formada de liquido, moles
xi, yi = fracciones molares en la fase liquida y vapor
vi = moles del componente i en el vapor
5.11 REACTOR “BATCH”
Los procesos “batch” son de naturaleza dinámica inherente. En estos procesos el análisis desde el punto de vista al estado estacionario solo puede hacerse para el “batch” en su conjunto, ya que durante la operación todo su comportamiento es al estado no estacionario. Siendo así las ecuaciones que describen el proceso de un “batch”serán:
Balance de materia solamente es necesario por componentes y tomando como base la conversión del reactante límite se tiene:
donde
ni : moles de i al final de la operación
ni,o : moles de i al inicio de la operación
fA: conversión fraccional de A
v: coeficientes estequiometricos
El balance de energía puede hacerse para determinar la cantidad total de calor removido o adicionado para la operación en su conjunto, aun cuando este balance se complica si durante la operación se tienen una fase de calentamiento hasta iniciar la reacción y una fase de enfriamiento hasta la temperatura de descarga, se puede hacer un balance para determinar la cantidad neta de calor para cada fase.
5.12 REACTOR CON TRANSFERENCIA DE MASA
El reactor mostrado en la Fig. 3.11, en el cual se burbujea un gas a través de un liquido es modelado matemáticamente por las Ecs. (3.72), (3.73)
NA = kl (CA* – CA ) (3.72)
donde
k1: coeficiente de transferencia de masa
CA*: concentración de equilibrio de A en la interfase liquido-gas
AMT : área total de transferencia de masa de las burbujas
FA : velocidad de alimentación de gas
y las Ecs. (3.74), (3.75) y (3.76) que para el estado estacionario se transforman en:
AMT NA = FL CA + V k CA CB (5.34)
F0 CB0 = FL CB + V k CA CB (5.35)
0 = FB rB + Ma NA AMT – FL r (5.36)
Teniendo cinco ecuaciones (3.72), (3.73), (5.34), (5.35) y (5.36). Las variables son NA , CA , CB , FV , y FL. Las funciones impulsoras son FA , FB , y CB0 .
5.13 COLUMNA IDEAL DE DESTILACIÓN
Para una columna de destilación binaria o de multiplecomponentes, las ecuaciones que describen la operación al estado estacionario son:
Un balance de masa para toda la columna da
F = B + D (5.37)
Un balance por componente para toda la columna da
D xD + B xB = Fz (5.38)
Un balance de energía para toda la columna:
FhF + Q herv = DhD + BhB – Qcond (5.39)
5.14 DESTILACION “BATCH” CON RETENCION
De la misma manera que el reactor “batch”, la destilación “batch” o por lotes es un proceso al estado no estacionario y de la misma manera los balance de materia y energía solo pueden hacerse a condiciones estacionarias para la operación total y determinar las cantidades y composiciones de destilado obtenido y liquido remanente en el destilados, así como la cantidad neta de energía consumida durante la operación.