INTRODUCCIÓN

En la industria de procesos hay dos áreas principales en las que el ingeniero químico presta sus servicios profesionales: la operación de plantas existentes y el diseño de plantas nuevas o modificadas.

Ambas tareas, la operación y el diseño se ven facilitadas con la elaboración de modelos que representan los procesos reales y que usan desde las mismas plantas en operación, pasando por plantas piloto y equipo de banco, llegando hasta las abstracciones de los modelos matemáticos y la solución (simulación) de los mismos.

Aunque los ingenieros químicos simulan procesos químicos desde hace ya muchos años, el término de simulación tiene una connotación especial cuando se utiliza con relación a las computadoras. El diseño y la simulación con ayuda de las computadoras le dan al ingeniero la capacidad de evaluar más alternativas, en forma más detallada que lo que era posible mediante los cálculos manuales. Aún así, los ingenieros todavía deben tomar las decisiones básicas de procesos; aún tiene que especificar las variables independientes del proceso, pero se ahorra los tediosos cálculos. Por lo tanto puede dedicar más tiempo a las suposiciones más importantes del modelo y a los efectos económicos de las decisiones sobre el proceso.

Cualquier tipo de modelo que se utilice en la representación de un proceso en la industria química constará de varios módulos o equipos en donde se efectúen cambios físicos y/o químicos en las sustancias que intervienen en el proceso, estando estos equipos interconectados y afectando la operación de uno a la operación de los demás. El análisis o el diseño de estos equipos que se realizaba anteriormente con nomogramas y reglas de cálculo se hace ahora con el uso de las computadoras, por lo cual el modelamiento matemático de cada unidad de proceso se hace indispensable; al resolver con algún algoritmo los modelos matemáticos surgen los programas de computación; los primeros que aparecieron eran del tipo específico, creados para estudiar un equipo determinado con los componentes químicos de ese proceso particular; después vino la generalización de los programas que se podrían utilizar en equipos similares y con componentes químicos diversos; el siguiente paso fue la integración de esos programas más generalizados que, combinados con programas más específicos para los reactores químicos, dieron lugar a los simuladores de procesos. La tendencia actual es el desarrollo de programas de uso general para la solución (simulación) de los modelos, usando el lenguaje que el diseñista crea conveniente.

1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS

1.1.1 Sistemas y procesos

Sistemas. Un sistema es una sección de la realidad que es el foco primario de un estudio, consiste de componentes interrelacionados y es, en un sentido, una entidad cerrada, considerada como independiente (mentalmente) de todo lo que le rodea.. Un sistema puede realizar una función que no es realizable por sus componentes individuales. El conjunto de actividades que se llevan a cabo dentro de un sistema se denomina proceso. Un sistema puede ser o físico o simbólico, sólo uno de los dos. Las ciencias matemáticas y lógicas trabajan con estos últimos. Los objetos o componentes que forman parte del sistema se denominan entidades, por ejemplo un reactor está compuesto por el tanque, la chaqueta de enfriamiento, el agitador, etc. Estas entidades poseen propiedades denominadas atributos, por ejemplo: la velocidad del agitador, y se relacionan entre sí a través de relaciones o funciones. Estas relaciones pueden ser:

• Estáticas o estructurales: El reactor tiene un determinado volumen.

• Dinámicas o funcionales: el reactor consume energía cuando opera.

Los valores asumidos por los atributos de las entidades en un momento dado determinan el estado del sistema. El estado puede ser estático o estacionario si se mantiene constante en el tiempo; o por el contrario, puede ser dinámico o transitorio si evoluciona con el tiempo. Un sistema puede presentar los dos tipos de conductas; generalmente, cuando inicia su funcionamiento pasa por un estado dinámico y luego alcanza un estado estacionario o de régimen.

Un estado estacionario es estable si el sistema retorna a él luego de una perturbación. Por el contrario, un estado estacionario es inestable si el sistema se aleja de él luego de una perturbación. Este alejamiento puede dar lugar a una respuesta acumulativa (crece o decrece continuamente, o alcanza otro estado estacionario) o a una respuesta oscilatoria (crece y decrece continuamente). Un ejemplo de estado estable, es un péndulo en su posición de reposo; en cambio, el péndulo invertido es un ejemplo de estado inestable. Si el péndulo no tiene fricción, la respuesta a una perturbación será oscilatoria; en cambio, si existe fricción la respuesta será amortiguada. En una planta química de operación continua, se deberá hacer todo lo necesario para que los reactores estén operando en estados estacionarios estables; de lo contrario, ante cualquier pertubación, los mismos se apagarían o explotarían.

Sistema químico.- Un sistema químico es un conjunto de procesos físicos y químicos interrelacionados y medios físicos que lo implementan (equipos de proceso).

Todo sistema tiene entradas y salidas Fig. 1-1. entradas pueden ser materia prima, su composición, temperatura, etc. Un sistema está usualmente sujeto a perturbaciones, y en orden a compensar estas, se hace uso de acciones de control (o correcciones).

Fig. 1-1 Sistema y Variables

Un sistema a pequeña escala está definido únicamente por las propiedades del proceso y está limitado a una simple unidad de proceso, sus fuerzas internas y la configuración de la unidad.

Un sistema a gran escala es un conjunto de sistemas a pequeña escala y difiere cuantitativa y cualitativamente de un sistema a pequeña escala. Las características de la salida de un sistema a gran escala son:

1. Integridad, que es el conjunto de objetivos y propósitos.
2. Gran tamaño y multiplicidad de funciones ejecutadas.
3. Comportamiento complejo.
4. Aspectos competitivos (procesos antagónicos pueden tener lugar en un sistema, tendiendo a reducir su efectividad).

Un ejemplo de un sistema a gran escala es el departamento de investigación y desarrollo de una planta de procesos.

Unidad de proceso. Cualquier secuencia química de producción puede dividirse en un número definido de etapas básicas en las cuales toman lugar los procesos básicos comunes a todo Ingeniero Químico. Algunas de las más importantes son: Absorción, destilación, reacción química, etc.

El carácter básico según el cual los procesos son empleados bajo un título particular, es la identidad de los aspectos físicos y químicos, es decir las relaciones de materia y energía dentro de un proceso dado. Una unidad de proceso contiene todas las características necesarias y suficientes que singularizan la multiplicidad de fenómenos físicos y químicos. El objetivo o propósito de una unidad de proceso es también tomado en consideración.

De acuerdo a sus relaciones internas de materia y energía, los procesos de ingeniería química son habitualmente divididos en las siguientes clases: Hidrodinámicos, térmicos, de difusión, químicos y mecánicos.

Según su objetivo o propósito e implementación, las clases anteriores son divididas en unidades de proceso (procesos unitarios). Por ejemplo la clase de difusión incluye las siguientes unidades de procesos: Absorción (desorción), destilación, extracción, adsorción (desorción), disolución (cristalización), secado, intercambio iónico, etc.

Todos los procesos pueden dividirse en determinísticos y estocásticos (o al azar). Un proceso determinístico es aquel en el cual la observación es hecha sobre un conjunto continúo de valores de manera bien definida, y la salida de la variable más representativa del proceso, es determinada únicamente por las variables de entrada. Los procesos determinísticos pueden describirse adecuadamente por los métodos clásicos de análisis y métodos numéricos. Un ejemplo de un proceso determinístico es aquel que se lleva a cabo en un reactor continúo, de flujo bien agitado.

Un proceso al azar o estocástico es aquel en el cual los cambios observados son de manera casual y frecuentemente discontinuos. En un proceso estocástico la variable de salida no está directamente relacionada a la variable de entrada los procesos estocásticos son descritos en términos de la estadística y teoría de las probabilidades. Un ejemplo es un procesos catalítico de contacto en el cual el rendimiento del producto disminuye conforme decrece la actividad del catalizador a través del tiempo.

1.1.2 Variables y parámetros

Los atributos también se denominan variables o parámetros (Figura 1-1). Los parámetros (P) son atributos que se fijaron durante el diseño del sistema ya sea por el diseñador o por la naturaleza, por ejemplo: la cilindrada del motor, la aceleración de la gravedad. Las variables se clasifican a su vez en:

• Variables de entrada o exógenas (U y D): Son fijadas por el medio ambiente del sistema. Pueden ser manipulables si se fijan a voluntad, o no manipulables en caso contrario. Un ejemplo del primer caso es la temperatura de la alimentación a un reactor, y del segundo caso es la temperatura de los alrededores. Una variable de entrada no manipulable se denomina perturbación. En Estudios de control de procesos, las variables manipulables se representan con el vector U, y las perturbaciones se representan con el vector D. La única manera de actuar sobre el sistema es a través de las variables manipulables, por eso son utilizadas para controlar el proceso.

• Variables de salida (Y): Son las variables de estado, o combinación de ellas, que son medidas o traspasan la frontera del sistema; por ejemplo, la concentración de salida del reactor. Las variables de salida se representan con el vector Y. Es la única información que sale del sistema, por eso son utilizadas para supervisar el proceso.

• Variables internas: Son las variables del sistema que no son variables de entrada, variables de salida, ni parámetros.

• Variables de estado (X): Conforman el conjunto mínimo de variables internas del sistema necesarias para describir completamente su estado interno en un momento dado. Mientras las otras variables internas pueden ser determinadas a partir de los parámetros y de las variables de entrada, para determinar el valor de las variables de estado es necesario recurrir a la historia del sistema. Por ejemplo, la cantidad de un determinado componente dentro de un reactor momento dado; es imposible determinar esta cantidad a partir de tan sólo los valores de otras variable para dicho momento porque además se deberían conocer cuánto fue la cantidad inicial de componente, cuánto se alimento, cuánto reacciono, cuanto se sacó, etc. Las variables de estado se representan con el vector X. Como se verá más adelante, estas variables son de fundamental importancia para modelar el sistema.

A continuación se analiza un calentador eléctrico de agua mostrado en la Figura 1-2, se supone que la potencia del mismo no es suficiente para llegar al punto de ebullición. La clasificación correspondiente es:

• Parámetros: el voltaje V, la resistencia Rc, las dimensiones del recipiente, el coeficiente global de transferencia de calor U, la capacidad calorífica del agua Cp, el espesor del cable, etc.

• Variables de entrada manipulables: la posición del interruptor p, el caudal de la corriente de entrada Fe y su temperatura Te, el caudal de la corriente de salida Fs.

• Perturbaciones: la temperatura ambiente Ta.

• Variables de salida: la temperatura Tm indicada por el termómetro, la potencia disipada Wd, la temperatura de la corriente de salida Ts.

• Variables internas: La intensidad I y la potencia de calentamiento W.

• Variables de estado: la masa de agua M, la temperatura del líquido T. Note que la intensidad I y la potencia de calentamiento W son variables internas del sistema; pero no son de estado porque pueden calcularse a partir de los parámetros y de las variables de entrada. Entonces, ellas no pertenecen al conjunto mínimo de variables que deben ser especificado y, por lo tanto, no son variables de estado. Por el contrario, para un momento dado, es imposible determinar los valores de M y T a partir del resto de las variables porque dichos valores dependen de la historia del sistema y no tan sólo del estado actual. De esta forma, es necesario especificar dichos valores para algún momento; por lo tanto son variables de estado.

Fig. 1-2 Calentador eléctrico

Durante la operación del sistema se podrán observar los siguientes estados:

• Estado inicial: El interruptor está abierto, el recipiente vacío, no entra ni sale líquido. El estado del sistema no varía durante esta etapa. Es un estado estacionario.

• Carga de agua: Se hace Fe > 0, el recipiente recibe agua y M aumenta continuamente durante esta etapa. Es un estado dinámico.

• Recipiente lleno: Cuando el nivel del agua es el deseado se interrumpe la alimentación. Nuevamente el sistema está en un estado estacionario.

• Calentamiento: Una vez alcanzado el nivel de agua deseado, se cierra el interruptor. La temperatura T del agua aumenta continuamente. Es un estado dinámico.

• Régimen: a medida que aumenta la temperatura del sistema, la potencia disipada hacia el exterior Wd también aumenta. Esta potencia además depende de Ta, de las

dimensiones del recipiente y de U. Cuando la potencia disipada iguala a la potencia W de calentamiento, la temperatura del sistema adopta también un valor constante. De este modo, el sistema alcanza un nuevo estado estacionario.

• Apagado: Alcanzada la temperatura deseada y mantenida durante el tiempo requerido, se abre el interruptor. La temperatura descenderá debido a la potencia disipada. Es un estado dinámico.

• Descarga de agua: Finalmente, sistema se descarga haciendo Fs > 0. M disminuye continuamente hasta valer cero. La temperatura continua descendiendo. Se trata de un estado dinámico que culmina cuando el sistema está completamente vacío y a temperatura ambiente.

La definición de la frontera del sistema juega un rol determinante en la clasificación de las variables. En efecto, la Figura 1-3 muestra un equipo desgasificador adiabático utilizado para separar los incondensables de una corriente de agua liberándolos a la atmósfera. Este equipo es comúnmente utilizado para retirar oxígeno del agua de alimentación de calderas para evitar sus efectos corrosivos. Para este equipo, se clasificarán los atributos del sistema de acuerdo a dos fronteras distintas. La primera encierra toda la figura, mientras la segunda está marcada con línea de trazos. Para la primera frontera, la clasificación de los atributos es:

• Parámetros: los coeficientes de las válvulas Cv1, Cv2 y Cv3.

• Variables de entrada manipulables: las presiones de entrada y descarga de agua: P1 y P3; y las aperturas de las válvulas: X1, X2 y X3.

• Perturbaciones: la presión atmosférica P2.

• Variables de salida: F2 y F3.

• Variables internas: F1.

• Variables de estado: la masa de agua Ml y la masa de gas Mg.

Fig. 1-3 Equipo desgasificador

Para la segunda frontera (línea de trazos) la clasificación es:

• Parámetros: ausentes en la figura.

• Variables de entrada manipulables: F1 y F3.

• Perturbaciones: F2. Este variable es manipulable si se considera que puede ser gobernada por la válvula de descarga de gas; entonces se puede fijar a voluntad su valor. Sin embargo, F2 también depende de la presión atmosférica que es no manipulable, y entonces variará independientemente de lo que desee el operador de la válvula, desde ese punto de vista el caudal es no manipulable. La clasificación final depende de si se actuará constantemente sobre la válvula para fijar el caudal en el valor deseado, o si se dejará la válvula en una apertura constante dejando que la presión gobierne el caudal.

• Variables de salida: ausentes en la figura.

• Variables internas: ausentes en la figura.

• Variables de estado: la masa de agua Ml y la masa de gas Mg.

Es importante determinar cuáles son las variables de entradas manipulables y las no manipulables. Las primeras serán utilizadas para actuar sobre el sistema, tal como lo hace un lazo de control o un operador. Las segundas deben ser tenidas en cuenta durante el diseño y la operación del sistema. Al ser no manipulables, se debe determinar cómo evolucionan para que el sistema esté preparado para enfrentar estas variaciones. Por ejemplo, se desea diseñar una torre de enfriamiento que sea capaz de enfriar el agua de refrigeración utilizada en una planta para permitir su reutilización (Figura 1-4). El caudal y temperatura de agua a tratar están dados por Fw1 y Tw1, respectivamente; mientras las condiciones de salida están dadas por Fw2 y Tw2. Se utiliza aire a temperatura ambiente para enfriar el agua, las condiciones de entrada y salida del aire están dadas por Fa1, Ta1, Fa2 y Ta2. M es la acumulación de líquido dentro de la torre. En este caso, sería un gravísimo error ignorar que la temperatura ambiente Ta1 es una variable no manipulable, y que la misma tiene valores extremos tanto en invierno como en verano. Si la torre se diseña para condiciones invernales, fallará rotundamente en verano. Si el error se subsana, y se diseña la torre para las condiciones imperantes en el verano, la torre enfriará tan bien que durante una cruda noche de invierno las tuberías y los intercambiadores de calor reventarán debido a la congelación del agua en su interior. Si se descarta la alternativa de pedirle a las autoridades de la planta que no operen la misma durante la temporada otoño-invierno, se deberá identificar y actuar sobre alguna variable manipulable para que en invierno el agua no sea enfriada por debajo de la temperatura deseada, y menos que llegue al punto de congelación. Las variables manipulables que podrían ser útiles para este caso son el caudal de aire Fa1 y de agua Fw1 que se permiten entrar en la torre.

Fig. 1-4 Torre de enfriamiento

1.1.3 Jerarquía de sistemas

Todo proceso de manufactura puede visualizarse como una secuencia de tres etapas básicas, a saber, preparación de la materia prima, tratamiento químico propiamente dicho, y separación de los productos finales. Esta secuencia está englobada en un sistema integrado de ingeniería química. En los tiempos presentes una planta química, como un sistema a gran escala, consiste de un número grande de sistemas interrelacionados colocados en tres niveles de jerarquía Figura 1-5. los subsistemas del nivel inferior comparten entre ellos las funciones asignadas por el subsistema del siguiente nivel superior. Cada subsistema de una planta química es una combinación de un sistema de ingeniería química y un sistema de control automático operando como un ente simple diseñado para producir un proceso especificado.

El nivel más inferior en la estructura jerárquica de una planta química consta de las unidades de procesos de ingeniería química (mecánica, flujo de fluidos, transferencia de calor, difusión, reacción, etc.), asociados con sistemas locales de control.

Fig. 1-5 Jerarquia de sistemes en una planta química

El segundo nivel ( Figura 1-5 ) de una planta química comprende los departamentos de producción y sus sistemas de control automático asociados. Un departamento en una planta química es un conjunto de unidades de proceso interrelacionados cuya operación está acompañada por perturbaciones fortuitas; es decir, las relaciones de entrada-salida de los subsistemas se hacen estocásticos. En el análisis de los subsistemas del segundo nivel, se tiene entonces que recurrir a técnicas de estadística y teoría de probabilidades. A este nivel, la información es analizada estadísticamente, y el control de los subsistemas incluye la optimización.

El máximo nivel en jerarquía de una planta química (ver Figura 1-5) provee administración y control para toda la producción, mantenimiento, inventario, planeamiento y mercadeo. A este nivel las necesidades provienen del análisis y del control óptimo de la planta total. Esto incluye el uso de modelos matemáticos, Ingeniería de sistemas, investigación de operaciones, etc.

1.2. ECUACIONES

Las ecuaciones pueden clasificarse en dos grandes grupos: algebraicas y diferenciales / integrales. Generalmente una ecuación algebraica no contiene una variable expresada como una derivada. Por ejemplo, la ecuación x = ay + bz es algebraica, mientras que dx/dt = ay + bz es una ecuación diferencial y dx/dt es la derivada.

1.2.1 Linealidad

El concepto de linealidad en ecuaciones es importante. Un ejemplo de ecuaciones lineales podría ser la definición de la presión en el fondo de un recipiente conteniendo liquido (Fig. 1-6):

P = hr + P₀ (1.1)

donde P₀ = presión sobre la superficie

P = presión a una profundidad h

r = densidad

Las relaciones entre P y h son mostradas como una línea recta en la gráfica; en la cual, a cualquier nivel h un cambio dado en el nivel (D h) producirá un correspondiente cambio proporcional en la presión D P. Un ejemplo de una ecuación no lineal podría ser la relación entre el flujo y la caída de presión a través de una válvula.

donde F = flujo

C_v = constante de válvula

(P₁ – P₂) = diferencia de presión a través de la válvula.

En esta expresión el cambio incremental en el flujo F no es proporcional a un cambio dado en la caída de presión (P₁ – P₂). Notar sin embargo, que aún cuando la relación entre el flujo y la caída de presión es no lineal, la relación entre el flujo y C_v es lineal.

En resumen, una función es lineal cuando todas las variables están elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas); de otro modo la función será no lineal.

1.2.2 Ecuaciones implícitas y explícitas

Las relaciones entre variables en una ecuación pueden ser ya sea implícitas o explícitas. Un ejemplo de una relación explícita fue mostrado en la ecuación para el flujo, F₂ = C_v , la cual es, dando P₁, P₂, y C_v, se puede establecer directamente F₂. Un ejemplo de una ecuación implícita se refiere a un tanque con un flujo de salida en la base y un rebose (vertedero) en un costado (Fig. 1.7). Si el flujo total hacia el tanque es F, entonces cuando son alcanzadas las condiciones al estado estacionario; se puede demostrar que F = 3,336(H – H_w)^1,5 + C_v(H_w)^0,5. Si F, C_v y H_w (altura del vertedero) son conocidos, no se puede calcular H directamente a partir de la ecuación y se deben hacer una serie de manipulaciones antes de establecer H.

1.2.3 Ecuaciones simultáneas

Ahora se describe el concepto de simultaneidad. Considerar el sistema descrito en la Fig. 1-8. Una bomba suministra un flujo constante F a dos puntos a través de dos válvulas, descargando a presiones P₁ y P₂ respectivamente. Las ecuaciones para el sistema son

Donde C_v1 y C_v2 son los valores constantes y P es la presión de descarga de la bomba. Hay tres valores no conocidos para los valores dados de P₁, P₂, C_v1, C_v2 y F (los dos flujos F₁ y F₂, y la presión P). Ninguno de estos valores no conocidos se puede determinar mediante la solución de cualquiera de las ecuaciones anteriores por sí sola. Estas incógnitas solamente se pueden determinar por la solución de las tres ecuaciones simultáneamente.

En un sentido amplio, las variables en un conjunto de ecuaciones simultáneas están implícitamente definidas, pero ninguna se puede establecer directamente mediante la solución de una ecuación cualesquiera

1.2.4 Suficiencia y redundancia

En orden a obtener una solución para un conjunto de ecuaciones, es necesario especificar tantas ecuaciones independientes como variables independientes existan. Las ecuaciones independientes permiten que se puedan usar ecuaciones redundantes derivadas de otras ecuaciones como ecuaciones independientes; por ejemplo, en el sistema

x + y + 2z = 5 (a)

3x + y + 2z = 3 (b)

2x + y + 2z = 4 (c)

(c) es redundante debido a que es meramente la suma de las ecuaciones (a) y (b) dividido por dos y por lo tanto no es un enunciado separado; y esta no puede ser usada para obtener valores de x, y y z. Estas definiciones también son aplicadas a ecuaciones diferenciales simultáneas.

Para sistemas en los cuales hay más variables que ecuaciones, existe un conjunto infinito de soluciones, pero si se es establecida una condición de maximización o minimización, se puede seleccionar una solución optima. Esta área general es abarcada por la “programación lineal o no lineal”. Las demás situaciones comunes con mas ecuaciones que variables no conocidas requiere encontrar una solución que fije mejor las ecuaciones con un mínimo de error. Esta es el área general de problemas del establecimiento de datos.

Este punto se estudiará con mayor detalle en capítulos posteriores en lo referente al análisis de procesos para el establecimiento de los grados de libertad de un modelo.

1.2.5 Ecuaciones diferenciales

Para adquirir destreza en la formulación de ecuaciones diferenciales es necesario entender claramente el significado de la derivada. El símbolo dV/dt establece “la razón de cambio de V con respecto a t ”. Si V está relacionada a t, como muestra la Fig. 1-9, entonces dV/dt es la pendiente de la curva en cualquier punto t. Si, por ejemplo, un recipiente está siendo llenado a una velocidad F(t) (este símbolo indica que la velocidad de alimentación F no es necesariamente constante, pero varía o es una función del tiempo t), luego la ecuación será:

que es, la velocidad de cambio de volumen V con respecto al tiempo es igual a la velocidad de alimentación. Esto también podría darse como una ecuación integral mediante la integración de ambos lados de la ecuación

la cual indica, “el volumen V a cualquier tiempo t es la acumulación del flujo F en el periodo de tiempo 0 ® t además del volumen al tiempo 0 ”.

Si el recipiente que se está llenando tiene un área de sección transversal constante A, el volumen V = AH, donde H es la altura de la superficie sobre un nivel dado. Luego en general,

Esto es, el área de sección transversal A veces la velocidad de cambio de la altura dH/dt es igual a la velocidad de alimentación. Esta manipulación es denominada “diferenciación por partes” y es muchas veces conveniente para simplificar ecuaciones.

Condiciones de frontera (condición límite)

Una definición completa para ecuaciones diferenciales debe incluir valores numéricos para las condiciones de frontera. Un ejemplo podría ser la ecuación para el volumen de liquido en el tanque considerado anteriormente: dV/dt = F. Esta ecuación permite calcular el volumen V a cualquier tiempo t pero también debe establecerse el volumen V₀ al tiempo t = 0. Este volumen inicial es denominado como una condición de frontera, y en orden a resolver la ecuación diferencial, se debe dar un valor para esta condición. En cualquier sistema de ecuaciones representando un modelo matemático que contenga un número de ecuaciones diferenciales se requieren valores específicos de las variables dependientes a valores particulares de las variables independientes, para todas las variables para las cuales los términos de derivada son incluidos en las ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales simultaneas definen las variables X, Y y Z

Son requeridos valores de Y y Z a un valor particular de la variable independiente t, y debido a que (c) es algebraica X es automáticamente definida. Usualmente los valores de frontera para las variables dependientes son todas especificadas por el valor inicial de la variable independiente y son denominadas “condiciones iniciales”. En pocas situaciones, sin embargo, ellas están especificadas a diferentes valores de la variable independiente y son denominados problemas de “valores de frontera dividida”.

1.3. MODELAMIENTO

Modelado es el proceso de construcción de un modelo. Un modelo es una representación de un objeto, sistema, o idea. Usualmente, su propósito es ayudar explicar, entender o mejorar un sistema (Shannon, 1988). Los modelos son útiles para:

• El pensamiento: Al construir un modelo necesariamente se debe ordenar y completar el conocimiento que del sistema real se posee.

• La comunicación: Un modelo elimina la ambigüedad del lenguaje para comunicarse con expertos.

• La predicción: Un modelo sirve para predecir la conducta del sistema real. El modelo de la teoría de la relatividad predice, sin hacer una simulación, que no es posible superar la velocidad de la luz.

La distinción principal de los presentes días, es que los procesos químicos proceden a grandes velocidades en sistemas de multi-fase, además son de extrema complejidad. Esta complejidad se debe a la multiplicidad y diversidad de variables de proceso y las ramificaciones de las relaciones internas entre ellas, debido a las cuales un cambio en una variables puede ocasionar cambios no lineales en otras variables. Esta complejidad aumenta en los casos de múltiples reciclos y reacciones competitivas, los cuales pueden cambiar totalmente el modelo. Además de esto, puede sobreponerse al proceso cualquier perturbación.

El potencial externo de información acerca de los procesos químicos es muy grande, nosotros estamos obligados a reducir este potencial y a limitar el número de alternativas. Esto puede hacerse mediante un adecuado discernimiento sobre un proceso particular a través de los modelos. Un modelo es una representación simplificada de aquellos aspectos de un proceso actual que está siendo investigado. El flujo de información es dividido en dos etapas; en la primera etapa, un modelo es comparado con el proceso real, y se toma como el adecuado si las diferencias son despreciables; en la segunda etapa, comparamos nuestras observaciones del proceso con las respuestas del modelo. Este procedimiento es denominado modelamiento. Existe modelamiento físico y modelamiento matemático.

1.3.1 Modelamiento físico.

En este caso el proceso de interés es reproducido en diferentes escalas y se analiza el efecto de las características físicas. El experimento es llevado a cabo directamente sobre el proceso real. Los datos experimentales son reducidos a relaciones incluyendo grupos dimensiónales hechos sobre varias combinaciones de cantidades físicas y dimensiones lineales. Con esta presentación dimensional, las relaciones encontradas pueden ser generalizadas a clases de eventos teniendo los mismos grupos dimensiónales o similar criterio. Estos grupos dimensiónales son derivados sobre la base de ecuaciones diferenciales o análisis dimensional.

El modelamiento físico consiste en buscar la misma o casi la misma similitud de criterio para el modelo y el proceso real. Como ya se ha notado antes, los procesos reales son modelados en una escala de crecimiento progresivo, con la dimensión longitudinal principal hecha en proporción (criterio de similitud).

El principio de similitud es importante en el análisis de procesos determinísticos los cuales obedecen las leyes físicas, pero es difícil aplicar para el análisis de procesos probabilísticas incluyendo múltiples relaciones estocásticas entre los eventos.

1.3.2 Modelamiento matemático

El modelamiento matemático es el proceso de creación de una representación matemática de algún fenómeno en razón de conseguir un mejor entendimiento del fenómeno. Es un proceso en el cual se cambia la observación con el establecimiento simbólico. Durante la construcción de un modelo, el modelista deberá decidir que factores serán relevantes para el fenómeno y cuales podrán dejar de enfatizarse.

En la construcción de un modelo matemático, un proceso real es reducido a sus bases esenciales, y el esquema resultante es descrito por un formulismo matemático seleccionado de acuerdo a la complejidad del proceso.

Es importante que un modelo deberá representar con suficiente exactitud las propiedades cuantitativas y cualitativas del fenómeno; en otras palabras, el modelo deberá adaptarse adecuadamente al proceso real. Para verificar esta necesidad, las observaciones hechas sobre el fenómeno deberán compararse con las predicciones derivadas del modelo bajo idénticas condiciones. Entonces un modelo matemático de un fenómeno (proceso) químico real es una descripción matemática combinando las observaciones experimentales y estableciendo relaciones entre las variables de proceso. El objetivo final de un modelo matemático es la predicción del comportamiento del proceso y recomendar los debidos sistemas de control.

1.4 TERMINOLOGÍA DE MODELOS MATEMÁTICOS

Existen muchas formas para la clasificación de modelos matemáticos. Para nuestros fines resulta más satisfactorio agrupar primeramente los modelos en parejas opuestas.

Determinista frente a probabilista

Lineal frente a no lineal

Estado estacionario frente a estado no estacionario

Parámetro globalizado frente a parámetro distribuido

La elección de un tipo particular de modelo matemático es determinada por las condiciones específicas bajo las que puede proceder un proceso dado. El objetivo principal del modelamiento y la simulación es para controlar un sistema o proceso dado. Como una consecuencia, un modelo matemático completo debe describir relaciones entre las variables básicas del proceso bajo condiciones de estado estacionario (un modelo estático) y bajo condiciones transitorias (un modelo dinámico).

1.4.1 Modelos deterministas frente a modelos probabilistas

Dependiendo de que un proceso dado sea determinístico o estocástico, este puede ser representado por cualquier de los siguientes modelos matemáticos: (1) Un modelo analítico rígido, un modelo numérico rígido, un modelo analítico probabilístico, o un modelo numérico probabilístico (Monte Carlo).

Los modelos deterministas o elementos de modelos son aquellos en los que cada variable y parámetro puede asignarse a un número fijo definido, o a una serie de números fijos, para una serie dada de condiciones. Si el sistema no contiene ningún elemento aleatorio, es un sistema determinístico. Es decir, las relaciones funcionales entre las variables del sistema están perfectamente definidas. En este tipo de sistema, las variables de salidas e internas quedan determinadas al especificar las variables de entrada, los parámetros y las variables de estado. El calentador eléctrico estudiado es un sistema determinístico.

Por el contrario, en los modelos o elementos probabilistas, o estocásticos, se introduce el principio de incertidumbre. Las variables o parámetros utilizados para describir las relaciones entrada-salida y la estructura de los elementos (y las restricciones) no son conocidos con precisión. En este caso, algún elemento del sistema tiene una conducta aleatoria. Entonces, para entradas y estado conocidas no es posible determinar con seguridad los valores de salida. En los modelos estadísticos es preciso volver atrás diciendo “el valor de x es (a ± b) con un 95% de probabilidad”, lo que quiere decir que en una operación prolongada el valor de x será mayor que (a + b) o menor que (a – b) en un 5 por ciento de los casos. Los elementos o modelos estocásticos no son tan fáciles de tratar como los deterministas. En la construcción de modelos rígidos, se utilizan diferentes técnicas clásicas de matemáticas, a saber, ecuaciones diferenciales, ecuaciones lineales de diferencia, ecuaciones integrales y operadores para conversión a modelos algebraicos.

1.4.2 Modelos lineales frente a modelos no lineales

Si la salida y, de un subsistema está completamente determinada por la entrada x, los parámetros del subsistema y las condiciones inicial y límite, pueden, en un sentido general, representar simbólicamente al subsistema por

y = Hx (1.10)

El operador H representa cualquier forma de conversión de x en y. Supóngase ahora que al subsistema se le aplican simultáneamente dos entradas separadas, de forma que

y = H(x₁ + x₂) = H(x₁) + H(x₂) = y₁ + y₂ (1.11)

Por tanto, el operador H es, por definición, un operador lineal.

Un sistema se denomina lineal si su operador H es lineal, y el modelo de un sistema lineal, que está representado por ecuaciones y condiciones límite lineales, recibe el nombre de modelo lineal. En caso contrario, el modelo es no lineal. El principio de superposición representado por la Ec. (1.11), permite al ingeniero determinar la respuesta del sistema par una amplia variedad de entradas.

1.4.3 Modelos de estado estacionario frente a modelos de estado no estacionario

Asumiendo una unidad de proceso (reactor, columna, intercambiador, etc.) para la cual al hacer un balance de alguna propiedad tal como masa, energía, momentum, etc. se tiene:

Entrada – Salida = Acumulación = d(propiedad)/dt (1.12)

Por estado estacionario consideramos, en la mayoría de sistemas, las condiciones donde ningún cambio ocurre con el tiempo. Matemáticamente esto corresponde a tener todas las derivadas (el término acumulación en la Ec.1.12) iguales a cero, o considerando un tiempo para realizarse muy grande, es decir, tiende al infinito. Por lo tanto: Entrada = Salida

En cada balance, si las condiciones límite son independientes del tiempo, las variables dependientes del sistema pueden alcanzar gradualmente valores constantes con respecto al tiempo en un determinado punto. Para sistemas globalizados; si la entrada es constante con respecto al tiempo la salida puede alcanzar un valor constante. Otra forma de expresar exactamente la misma idea consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia infinito desaparecen los estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo.

Históricamente las técnicas de diseño en ingeniería química para operaciones básicas, cinética de reacción, etc. han tratado casi exclusivamente con operaciones en estado estacionario. Cuando comenzó a estudiarse ampliamente el control de procesos, se encontró que la operación en estado no estacionario era muy importante. Diseñar una planta basándose en información de estado estacionario y adicionar después los controles resulta actualmente inadecuado: tanto las unidades como el control del sistema deben diseñarse conjuntamente. Por supuesto que el análisis y diseño de un proceso de estado no estacionario requiere más tipos diferentes y detallados de información que en el caso precedente, pero el análisis dinámico de la operación prolongada suele con frecuencia conducir a un mejor diseño desde el punto de vista económico, que, al fin y al cabo, es lo que importa.

Un ejemplo típico de un proceso de estado no estacionario puede ser la puesta en marcha de una columna de destilación que alcanzará eventualmente un conjunto de condiciones de operación de estado estacionario. De hecho, cuando se examina con más detalle, se encuentra que la columna siempre opera en estado estacionario con pequeñas fluctuaciones de temperatura y composición, que se producen en todo momento, pero que posiblemente oscilan alrededor de los valores “medios de estado estacionario”. El análisis dinámico ayuda a minimizar las desviaciones de las especificaciones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambios en los niveles de operación.

En resumen, dependiendo de la naturaleza del proceso, este será descrito por:

Modelo estático. Un modelo estático (o al estado estacionario) ignora cambios en las variables del proceso con el tiempo. Antes de construir un modelo estático, es analizado el proceso para establecer su naturaleza física y química, para establecer las ecuaciones que lo describan.

Ejemplos de modelos estáticos son:

a) Las ecuaciones para determinar el diámetro óptimo (D_{i, opt}) de una tubería

Para acero al carbono

D_{i, opt} = 282 m ^0.52 r ^-0.37 (1.13)

Para acero inoxidable, la expresión es

D_{i, opt} = 236 m ^0.50 r ^-0.35 (1.14)

donde D_{i, opt} = diámetro interior óptimo, mm

m = flujo de masa kg/s

r = densidad del fluido, Kg./m³

Modelo dinámico. La construcción de un modelo dinámico (o al estado no estacionario) se hace para describir las características dinámicas del proceso, esto es, estableciendo relaciones entre sus principales variables, las cuales varían con el tiempo. Las características dinámicas pueden ser obtenidas de la teoría, por experimentos, o ambos.

Un modelo dinámico se ilustra con el tanque mostrado en la Fig. 1-11, hacia el cual se bombea un liquido incompresible (densidad constante) a un caudal variable F_o (pies³/s). Este flujo de entrada puede variar con el tiempo debido a cambios en la operación de la corriente superior. El nivel de liquido en el tanque cilíndrico vertical es h(pies). El flujo de salida del tanque es F (pies³/s).

Ahora F_o, h, y F todos variaran con el tiempo y entonces serán funciones del tiempo. Consecuentemente usamos la notación F_o(t), h_(t) , y F_(t). El liquido sale por la base del tanque vía una tubería horizontal prolongada y lo descarga en el tope de otro tanque. Ambos tanques están abiertos a la atmósfera.

Al estado estacionario el flujo de salida del tanque debe ser igual al flujo de entrada. En este libro denotaremos el estado estacionario de las variables por una barra sobre la variable. Luego al estado estacionario en el sistema del tanque .

Para un dado, la altura del liquido en el tanque al estado estacionario deberá ser también una constante . El valor de deberá ser aquella altura que proporcione bastante columna de presión hidráulica a la entrada de la tubería para vencer la perdida por fricción de liquido fluyendo a lo largo de la tubería. Para un alto valor de , será un alto valor de .

En el diseño del tanque al estado estacionario, naturalmente podemos dimensionar el diámetro de la línea de salida y la altura del tanque para que al flujo máximo esperado el tanque no rebalse. Y como practica de diseño se considera un 20 a 30 por ciento de factor de seguridad en la altura del tanque.

El estudio dinámico de este sistema es determinar que sucede cuando se cambia el valor de F_o. ¿Cómo será la respuesta de h_(t) , y F_(t) con el tiempo? Obviamente F eventualmente tenderá a alcanzar el nuevo valor de F_o y la altura tenderá a alcanzar un valor que equilibre el flujo de entrada y el valor necesario de h_(t) para proporcionar la columna hidráulica suficiente para tener el valor de F_(t) igual a F_o; el problema se resumirá en determinar si el nivel de liquido en el tanque sobrepasa la altura del tanque o no.

Tanque mezclador.- En los procesos se acostumbra colocar un tanque de retención antes de un equipo al cual se debe suministrar una corriente con una concentración constante o en todo caso que la variación no exceda un límite inferior o superior dados. Consideremos un tanque mostrado en la Fig. 1.12 el cual esta colocado antes de la entrada a un reactor para tratar de mantener la concentración de alimentación dentro de un rango determinado.

Al tanque ingresa una alimentación F_o (pies³/min.) con una concentración del reactante A de C_Ao (mol/pie³). Al estado estacionario se mantendrá C_A = C_Ao y F_o = F, pero puede darse el caso que debido a una mala operación en un equipo anterior al tanque se altere la concentración de entrada durante un cierto periodo de tiempo. En este caso el modelamiento y la simulación del tanque de mezcla servirán para determinar en que tiempo se restaura el estado estacionario de la concentración de salida y determinar si la concentración de salida durante el tiempo que dura la alteración de la concentración de entrada excede o no el rango máximo de concentración de salida dado por el diseño del proceso.

1.4.4 Modelos de parámetro distribuido frente a modelos de parámetro globalizado (o agrupado)

Brevemente, una representación de parámetro globalizado quiere decir que se ignoran las variaciones espaciales y que las distintas propiedades y el estado (variables dependientes del sistema se pueden considerar homogéneas en todo el sistema). Por otra parte, una distribución de parámetro distribuido tiene en cuenta variaciones detalladas desde el punto de vista del sistema en su conjunto. Todos los sistemas reales, son por supuesto, distribuidos debido a que existen algunas variaciones en todo el conjunto. Sin embargo, las variaciones son con frecuencia relativamente pequeñas, de forma que se pueden ignorar, y entonces el sistema se puede considerar “globalizado”.

La respuesta a la pregunta de si la globalización de parámetros es válida, dista mucho de ser sencilla. Una buena regla aproximada es que si la respuesta del elemento, para todos los fines prácticos, es instantánea en el conjunto de todo el elemento, entonces el parámetro del elemento puede ser globalizado. Si la respuesta presenta diferencias instantáneas a lo largo del elemento, ya no sería globalizado. Por respuesta se entiende la velocidad de propagación de la entrada o señal a través del elemento. Así, para ver si debe utilizarse una ecuación de parámetro distribuido o globalizado, es necesario conocer algo acerca de los detalles del elemento en cuestión.

Debido a que los procedimientos matemáticos para la resolución de sistemas de parámetro globalizado son más sencillos que para los sistemas de parámetro distribuido, con frecuencia se aproxima este último por un sistema equivalente de parámetro globalizado. Mientras que la globalización resulta con frecuencia posible es preciso tener mucho cuidado en evitar el enmascaramiento de las características sobresalientes del elemento distribuido (lo que dará lugar a la construcción de un modelo inadecuado) debido a la globalización. Además la variabilidad o no-linealidad del modelo de parámetro globalizado puede dar lugar a un tratamiento matemático tan difícil como el modelo original no globalizado.

Como ejemplo de la utilización de modelos matemáticos globalizados en vez de distribuido, vamos a considerar el concepto de etapa de equilibrio en destilación, extracción u otras operaciones similares. Generalmente se supone que la etapa actúa como un todo y no se tienen en cuenta las variaciones de composición, temperatura y presión entre las distintas partes de la etapa. Todas estas variables se “globalizan” conjuntamente en un valor medio total. Los errores introducidos por este tipo de análisis se compensas en última instancia mediante el nebuloso término de eficiencia de la etapa.

Otro ejemplo lo constituye un tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de fluidos, o bien para efectuar reacciones químicas. Generalmente basamos los cálculos en la suposición de que el tanque esté perfectamente agitado de forma que todo el volumen del mismo consiste en un material homogéneo de características idénticas al producto que sale del tanque. Ahora bien, en un tanque real existen placas deflectoras, rincones, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regiones, lo cual conduce a falta de uniformidad en el tanque. Con frecuencia se ignoran nuevamente estas variaciones y se emplean ciertos valores medios para las propiedades del material contenido en el tanque. Para muchos fines la suposición globalizada resulta bastante satisfactoria, aunque para ciertos tipos de reacciones químicas el mezclado no ideal puede tener importantes efectos. En relación con estos vamos a considerar distintos aspectos.

Las variaciones espaciales consideradas en los modelos de parámetro distribuido pueden ser para una dimensión solamente o para dos o tres dimensiones. Por ejemplo, en los métodos habituales de diseño de un absorbedor de relleno para gases se supone que las concentraciones varían en forma continua en la dirección axial o de flujo, pero en cambio se ignoran en la dirección radial. A un reactor tubular o de partículas de relleno se le considera generalmente en la misma forma, pero, como en este caso los gradientes radiales de temperatura pueden ser importantes, para tener en cuenta esto es necesario utilizar un modelo de parámetro distribuido de dos o tres dimensiones en el que se consideran las variaciones radial y axial de la temperatura y las concentraciones.

Otra cuestión a considerar es que se pueden realizar aproximaciones y simplificaciones parciales. Por ejemplo, en un modelo tridimensional de parámetro distribuido para un reactor químico, se admite con frecuencia que el perfil de velocidad es plano. Esto sirve de ayuda para la resolución matemática sin alterar el tipo de modelo. Si existen perfiles de velocidad complicados, la suposición de un perfil plano puede no resultar adecuada.

1.5 OTRA CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

En la Tabla 1.1 se considera otro esquema de clasificación y constituye una guía para las técnicas de solución, como puede observarse, la complejidad matemática aumenta a medida que se desciende en la Tabla 1.1. En otras palabras, las ecuaciones algebraicas son generalmente de resolución más sencilla que las ecuaciones diferenciales ordinarias, que a su vez son más fáciles de resolver que las ecuaciones en derivadas parciales. Esto no ocurre siempre, ya que una ecuación diferencial lineal puede ser más fácil de resolver que una ecuación diferencial ordinaria no lineal. La exactitud de representación del sistema físico real que se alcanza mediante el modelo matemático también aumenta a medida que se desciende en la tabla, puesto que al tener en cuenta más variables dependientes y parámetros el modelo es más perfecto.

Utilizando la descripción dada anteriormente para los modelos de estado no estacionario frente a estado estacionario y de parámetro globalizado frente a parámetro distribuido, se puede discutir la organización de la Tabla 1.1. Puesto que en las ecuaciones algebraicas no hay derivadas, no se puede considerar variaciones de espacio o tiempo. Estos modelos están limitados para sistemas de parámetro globalizado en estado estacionario, tal como se indica en la tabla; ejemplos de este tipo son balances de materia en estado estacionario para procesos de etapas de equilibrio.

Una ecuación diferencial ordinaria tiene una sola variable independiente que varia continuamente, de forma que se pueden considerar variaciones del tiempo o bien de una dirección espacial, pero no las dos conjuntamente. El primer caso conduce a modelos de parámetro globalizado para estado no estacionario, mientras que el segundo conduce a modelos de parámetro distribuido en una dimensión para estado estacionario. Ejemplos del primer caso los constituyen los balances de materia en estado no estacionario para procesos de etapas de equilibrio en los que es preciso tener en cuenta la acumulación de materia. Ejemplos del segundo tipo son los absorbedores de gas o los reactores químicos con variaciones en una dimensión. Los modelos que emplean ecuaciones diferenciales ordinarias son muy útiles debido a que la complejidad matemática no es muy grande, si bien el modelo es algo más complejo que una sencilla ecuación algebraica, de forma que tiende a proporcionar una mejor representación del fenómeno física. Las ecuaciones diferenciales ordinarias representan un compromiso (una situación con la que frecuentemente se encuentra el ingeniero) debido a que se podrían obtener representaciones más exactas pero solamente a expensas de una complejidad adicional mucho mayor tanto matemática como de cálculo.

Las ecuaciones en derivadas parciales pueden tener cualquier número de variables independientes, si bien en el análisis de procesos el número máximo es habitualmente cuatro: tres dimensiones espaciales y el tiempo. En el campo de la mecánica cuántica, donde es preciso considerar la posición espacial de cada partícula elemental, el número de variables independientes es con frecuencia muy superior a cuatro; sin embargo, en los sistemas ingenieriles solamente se necesita considerar las dimensiones geométricas de todo el sistema. Puesto que por definición, en una ecuación en derivadas parciales hay por lo menos dos variables independientes, una de ellas puede ser el tiempo. Vemos por tanto que los modelos que emplean ecuaciones en derivadas parciales son siempre modelos de parámetro distribuido. Dependiendo de que intervenga o no el tiempo, se tienen las dos subclases que se indican en la Tabla 1.1. Estos modelos son los más comprensibles de los frecuentemente utilizados por los ingenieros, pero presentan la dificultad de que las manipulaciones matemáticas que intervienen en su resolución son con frecuencia muy complicadas.

Con respecto a las soluciones analíticas, la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias está razonablemente bien desarrollada, pero en cambio no ocurre lo mismo para las ecuaciones en derivadas parciales. Así, rara vez se puede encontrara la solución analítica a una ecuación en derivadas parciales y, cuando esto ocurre, es muy frecuente que intervenga una serie infinita, cuyo cálculo resulta difícil, al menos por métodos manuales. Por supuesto que el empleo de calculadoras y computadoras facilita algo el problema, pero aún en este caso la resolución de ecuaciones en derivadas parciales es un procedimiento largo. Estas ecuaciones resultan también de difícil comprensión sin recurrir a un amplio análisis complementario.

Es preciso tener en cuenta que un modelo expresado en función de ecuaciones diferenciales puede con frecuencia expresarse en función de ecuaciones integrales (y viceversa) de forma que en este esquema de clasificación están esencialmente incluidos muchos otros modelos.

Las ecuaciones de diferencia tienen en cuenta cambios finitos desde un estado a otro y tienen un significado paralelo al que se ha indicado mas arriba para las ecuaciones diferenciales.

1.6 CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO

El modelado es un arte. Cualquier conjunto de reglas para desarrollar modelos tiene una utilidad limitada y sólo puede servir como una guía sugerida. El arte de modelar consiste en la habilidad para analizar un problema, resumir sus características esenciales, seleccionar y modificar las suposiciones básicas que caracterizan al sistema, y luego enriquecer y elaborar el modelo hasta obtener una aproximación útil.

Aunque los problemas pueden requerir métodos de solución muy diferentes, las siguientes etapas son una aproximación general para construir un modelo.

1. Establecer una definición clara de los objetivos.
2. Analizar el sistema real.
3. Dividir el problema del sistema en problemas simples.
4. Buscar analogías.
5. Considerar un ejemplo numérico específico del problema.
6. Determinar las variables de interés.
7. Escribir los datos obvios.
8. Escribir las ecuaciones teóricas o empíricas que describen los fenómenos presentes y relacionan las variables de interés.

Generalmente, simplificar un modelo implica:

• Convertir variables en constantes.
• Eliminar o combinar variables.
• Suponer linealidad.
• Agregar suposiciones más potentes y restricciones.
• Restringir los límites del sistema.

Para enriquecerlo se procede de la forma contraria. Durante el proceso de modelado se debe alcanzar un equilibrio entre el grado de detalle y el riesgo de falta de exactitud. El mejor modelo es el modelo más simple que puede resolver el problema planteado con el grado de exactitud requerido.

Como se ha visto anteriormente, la construcción de un modelo matemático para un proceso, puede ser una tarea difícil, en la cual se combinan el conocimiento con la experiencia. También es importante trabajar en conjunto con especialistas en las diferentes áreas.

Fig. 1-13 Etapas en el Desarrollo de un modelo matemático completo de un proceso.

Verificación y refinamiento del modelo

Desde que un modelo ha sido desarrollado y aplicado a un problema, los datos resultantes deben ser analizados e interpretados con respecto al problema. La interpretación y conclusiones deberán ser verificadas respondiendo a las siguientes interrogantes:

• Es la información producida razonable?
• Están las asunciones realizadas durante la construcción del modelo de manera razonable?
• Existen factores que no fueron considerados y que podrían afectar la salida?
• Cómo se comparan los resultados con los datos reales?

En consideración a estas interrogantes, puede ser necesario modificar el modelo. Este proceso de refinación deberá ser continuo hasta conseguir un modelo que sea lo más cercano posible a la observación real del fenómeno.

Un modelo matemático completo de un proceso combina las variables básicas del proceso, las relaciones entre las variables bajo condiciones estáticas o al estado estacionario, restricciones, criterios de optimización, funciones objetivas y también las relaciones entre las variables bajo condiciones dinámicas o de estado no estacionario.

La Fig. 1-13 muestra las diferentes etapas en la construcción de un modelo matemático completo.

1.7 ANÁLISIS Y DISEÑO DE PROCESOS (“GRADOS DE LIBERTAD”)

El modelamiento matemático, como se ha visto anteriormente describe matemáticamente las relaciones entre las variables de un proceso. En otras palabras el flujo de materiales del proceso real se convierte en flujo de información en las abstracciones matemáticas de los modelos. Este flujo de información, son los valores de las variables, las cuales están incluidas en el diseño, tales como composiciones de las corrientes, temperatura, presión, velocidad de flujo y entalpías de las corrientes. En este punto debemos distinguir dos tipos de variables:

Variables intensivas. Independientes de la cantidad de materia (Ej. Presión y temperatura)

Variables extensivas. Dependen de la cantidad de material

La consistencia en el diseño deberá emplear restricciones sobre los posibles valores que puedan tomar estas variables. Los valores de algunas variables serán fijados directamente por las especificaciones del proceso. Los valores de otras variables deberán determinarse por las relaciones de diseño.

“Grados de libertad” = Número de variables de diseño – Número de relaciones de diseño

Si N_v = número de posibles variables en un problema de diseño

N_r = número de relaciones de diseño

N_d = número de grados de libertad

N_d = N_v – N_r (1.19)

N_d representa la libertad que tiene el diseñista para manipular las variables para encontrar el mejor diseño. Esta manipulación se refiere a que el diseñista puede dar valores fijos a un número de variables igual al número de grados de libertad.

a) Sí N_v = N_r entonces N_d = 0

– El problema tiene solamente una solución (única)

– El problema no es un problema real de diseño

– No es posible optimizar

N_v = N_r única solución: x = 6 y = 4

b) Si N_v < N_r entonces N_d < 0

– El problema no está definido

– Solamente es posible una solución trivial

c) Si N_v > N_r entonces N_d > 0

– Hay un número infinito de posibles soluciones (pero para un problema practico habrá solamente un número limitado de soluciones factibles) N_d es el número de variables a las cuales el diseñista debe asignarle valores (de acuerdo a su criterio y experiencia) para resolver el problema.

Ejemplo. Considerando una corriente de una fase simple conteniendo C componentes

Grados de libertad Nd = Nv – Nr = (C + 4) – 2 = C + 2

(1) La suma de las fracciones en masa o mol, debe ser igual a uno

(2) La entalpía es una función de la composición de la corriente, temperatura y presión

Especificando (C + 2) variables se define completamente el sistema.